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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 8: Teorema de Taylor

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5. Obtenga el polinomio de Taylor de orden nn de las siguientes funciones en x0=0x_{0}=0
d) f(x)=e2xf(x)=e^{2 x}

Respuesta

Si calculamos las primeras derivadas de ff vemos que:

f′(x)=2e2x f'(x) = 2e^{2x} f′′(x)=4e2x=22 e2x f''(x) = 4e^{2x} = 2^2 e^{2x}
f′′′(x)=8e2x= 23 e2x  f'''(x) = 8e^{2x} = 2^3 e^{2x} 
f(4)(x)=16e2x= 24 e2x  f^{(4)}(x) = 16e^{2x} = 2^4 e^{2x} 

(...) 

f(n)(x)=2ne2x f^{(n)}(x) = 2^{n}e^{2x}

Y si evaluamos cada una de estas derivadas en x=0x=0 obtenemos...

f′(0)=2 f'(0) = 2 f′′(0)=22 f''(0) = 2^2
f′′′(0)=23  f'''(0) = 2^3 
f(4)(0)=24 f^{(4)}(0) = 2^4

(...)

f(n)(0)=2n f^{(n)}(0) = 2^{n}

Este fue más fácil! Si juntamos ahora todo en la estructura del polinomio de Taylor centrado en x=0x=0 nos queda:

pn(x)=1+2x+222!x2+233!x3+...+2nn!xn p_n(x) = 1 + 2x + \frac{2^2}{2!}x^2 + \frac{2^3}{3!}x^3 + ... + \frac{2^n}{n!}x^n
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